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【简单】差分矩阵

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  • 2021年06月03日
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输入一个 $n$ 行 $m$ 列的整数矩阵,再输入 $q$ 个操作,每个操作包含五个整数 $x1,y1,x2,y2,c$ ,其中 $(x1,y1),(x2,y2)$ 是一个子矩阵的左上角和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素加 $c$ 。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 $n,m,q$。
接下来 $n$ 行,每行 $m$个 整数,表示整数矩阵。
接下来 $q$ 行,每行包括 5 个整数 $x1,y1,x2,y2,c$,表示一个操作。

输出格式

共 $n$ 行,每行 $m$ 整数,表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

${\rm{1}} \le {\rm{n,m}} \le {\rm{1000}}$
${\rm{1}} \le {\rm{q}} \le {\rm{100000}}$
${\rm{1}} \le {\rm{x1}}\le {\rm{x2}} \le {\rm{n}}$
${\rm{1}} \le {\rm{y1}}\le {\rm{y2}} \le {\rm{m}}$

输入样例

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

题解

(二维差分)$O(1)$

二维前缀和(基础扩展) $O(1)$:

求前缀和,以 $S_{i,j}$ 为例($a_{i,j}$为当前位置的值):

$S_{i,j}=S_{i,j-1}+S_{i-1,j}-S_{i-1,j-1}+a_{i,j}$

一个左上角和右下角坐标为 $(x1,y1),(x2,y2)$ 子矩阵的和可认为:

$S_{x_2,y_2}-S_{x_2,y_1-1}-S_{x_1-1,y_2}+S_{x_1-1,y_2-1}$

即 $S_{x_2,y_2}$ 减去两个矩形再加上两个矩形重叠部分多减去的一次。

二维差分(即前缀和的逆运算)$O(1)$:

构造 $b$ 使得 $a$ 为 $b$ 数组的前缀和,即 $b$ 为 $a$ 的差分:

$a_{i,j}=b_{1,1}+b_{1,2}+\ldots +b_{2,1}+b_{2,2}+\ldots+b_{i,j}$

具体到此题,要使得 $a$ 中间的子矩阵全部加上 $c$,即是让其差分 $b_{x_1,y_1}$ 加上 $c$,此时,该坐标之后的矩阵($b$ 的前缀和子矩阵)全部加上 $c$ ,也就多加了一个倒“L”型的区域,将该区域减去即可完成题目操作。
详见 insert() 函数。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);//将读入的矩阵构造差分更新到b中
    while(q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];//求二维差分矩阵b的前缀和
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            printf("%d ", b[i][j]);
        cout << endl;
    }
    return 0;
}
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